Modélisation Mathématique en Mécanique du
contact
Ce
thème de recherche consiste à étudier des
équations aux dérivées
partielles issues de la Mécanique des Milieux Continus
(élasticité,
hyperélasticité, viscoplasticité, mécanique
des fluides), et notamment
les équations d’évolution modélisant les
problèmes de contact avec ou
sans frottement. Les phénomènes de contact impliquant des
corps
déformables abondent dans l’industrie et dans la vie de
tous les jours
; ils sont variés, fortement non linéaires et complexes;
ils jouent un
rôle important dans les structures et les systèmes
mécaniques, et leur
étude complète implique des compétences
variées, allant de la mécanique
au calcul scientifique, en passant par l’analyse fonctionnelle,
l’analyse numérique et la thermodynamique.
Dans l’étude des phénomènes de contact,
notre objectif est de présenter
une description claire et précise des problèmes aux
limites modélisant
le contact entre corps déformables ainsi que de réaliser
leur analyse
variationnelle et numérique. Ainsi, nous avons
considéré des modèles
mécanique originaux capables de prendre en considération
les phénomènes
sous-jacents au contact (le frottement, l’usure,
l’adhésion, les effets
thermiques). Nous avons alors proposé des formulations
variationnelles
associés à ces modèles non réguliers, non
linéaires et parfois
non-convexes, puis nous avons démontré des
résultats allant de
l’existence et l’unicité des solutions faibles
à l’étude de l’erreur
d’approximation pour les schémas
discrétisés, en passant par des
résultats de régularité et de comportement
asymptotique. Par ailleurs,
afin de vérifier les différentes études
théoriques et de résoudre ces
problèmes, nous avons mis en œuvre de nombreux
modèles numériques,
souvent associés à des systémes non
réguliers, non convexes, non
linéaires et non symétriques de grande taille. Pour cela
nous avons
développé des méthodes de résolution
adaptées à la modélisation
mécanique considérée (dynamique, lois non
convexes, grandes
déformations, contact frottant, viscoélasticité),
mais également
adaptées aux nouvelles générations
d’ordinateurs à architecture
parallèle.
La considération des phénomènes de contact nous a
amené à des problèmes
mathématiques originaux, souvent formulés en termes
d’inclusions
différentielles ou d’inéquations variationnelles
d’évolution. Dans un
souci de lisibilité, nous nous sommes intéressés
à l’étude de ces
problèmes dans un cadre variationnel abstrait, accessible
à ceux qui
n’ont pas de connaissances spécifiques de
mécanique. Nous avons obtenu
des résultats d’existence et d’unicité de la
solution, en utilisant
essentiellement des méthodes de monotonie, compacité,
régularisation,
discrétisation temporelle et point fixe. Nous nous sommes
également
intéressés à l’approximation
numérique de la solution à l’aide des
schémas discrétisés, pour lesquels nous avons
obtenu des résultats
d’estimation de l’erreur et de convergence. Par ailleurs,
la
considération de problèmes non réguliers, non
convexes, non linéaires
(souvent présents en Mécanique du Contact) et parfois de
grandes
tailles, nous a amené à développer des
méthodes numériques robustes et
performantes tout en étant en adéquation avec la physique
considérée.
Certains de ces travaux ont été menés en
interaction avec l’équipe de
Physique. Par ailleurs, l’optimisation de codes de calcul
numérique par
transformation automatique des programmes afin de minimiser les erreurs
d’arrondi est une problématique en cours
d’étude avec l’équipe de
Vérification Numérique. Les méthodes
développées ont pu être testées
sur machines séquentielles et parallèles. De
manière générale, nous
souhaitons intensifier les interactions avec les équipes de
Physique et
de Vérification Numérique.
Par ailleurs, nous envisageons de poursuivre l’analyse
variationnelle
et numérique des systèmes d’EDP modélisant
les phénomènes de contact,
en étroite collaboration avec les équipes
françaises ou étrangères qui
ont manifesté la volonté de nous rejoindre dans cette
démarche. Citons
par exemple les laboratoires « Alexander Grothendieck » et
LMGC de
Montpellier, le LMA de Marseille (équipes CNRS), ainsi que les
équipes
dirigées par le Professeur W. Han (University of Iowa), le
Professeur
Migorski (Université Jagellone, Cracovie, Pologne), le
Professeur M.
Shillor (Oakland University, Michagan, USA) ainsi que le Professeur J.
M. Viano (Université de St. Jacques de Compostelle, Espagne).