a) Contrôle optimal

Il y a dans cet axe deux Maîtres de Conférences toutes deux issues de l’école "Viabilité, Contrôle" de JP. Aubin et H. Frankowska. Les thèmes de recherche développés se situent dans le cadre du contrôle optimal et en particulier l’étude des fonctions valeurs qui apparaissent dans ces problèmes comme par exemple des équations ou systèmes d’Hamilton-Jacobi.

Plus précisément les thèmes principaux sont :

- Extension de la condition de Rankine-Hugoniot au problème de contrôle optimal de Bolza.
Ce travail se situe dans le même champ que la propagation des singularités des fonctions semi-concaves. On envisage les applications en collaboration avec P. Saint Pierre (Université Paris-Dauphine).

- Systèmes d’équations d’Hamilton-Jacobi.
On considère un problème d’optimisation multicritère de contrôle optimal vectoriel avec l’ordre lexicographique. On étend des notions classiques en analyse non-linéaire à des problèmes vectoriels et on étend la notion de solution au sens des solutions contingentes et des solutions de viscosité. Une application de ce travail est l’existence d’une valeur pour les jeux différentiels avec ordre sans la condition d’Isaac. On envisage de poursuivre ce travail avec des applications à l’économie et aux jeux différentiels.

- Systèmes de contrôle hybrides.
Nous envisageons de poursuivre l’étude de ces problèmes en étroite collaboration avec des chercheurs français et étrangers comme par exemple M. Quincampoix (Université de Bretagne Occidentale), P. Cannarsa (Université de Rome II), D. Gromov (Universität Magdeburg, Allemagne).

-Contrôle stochastique.
Etude par des méthodes de viabilité stochastique en collaboration avec l'Université de Bretagne Occidentale.

b) Jeux, Modélisation Mathématique en Economie

La convexité a fourni à l'Economie Mathématique le contexte et les outils dont celle-ci avait besoin. Essentiellement, d'une part, par ce qui se rattache à la dualité, et donc, dans un sens large, au Théorème de Hahn-Banach, d'autre part, par ce qui se rattache aux Théorèmes de point fixe (et plus généralement à l'étude des applications multivoques). L'idée, tout comme le besoin, de développer les méthodes mathématiques de l'économie hors du champ linéaire n'ont rien de récent. Des théories abstraites et générales de l'optimisation existent déjà, par exemple, Pallaschke et Rolewicz, Foundations of Mathematical Optimization, Kluwer (2004) ou, Rubinov, Abstract Convexity and Global Optimization, Kluwer (2000). Mais ces travaux, mûs, pour citer D. Pallaschke et S.Rolewicz, par l'idée de "faire de l'analyse convexe sans convexité'', restent muets autant sur tout ce qui concerne l'aspect géométrique de la convexité (structure des polytopes, points extrémaux, etc.) que sur ce qui concerne l'aspect topologique de la convexité ( points fixes, sélections, etc.). Il n'est pas nécessaire de souligner le développement autonome de la  Théorie des Points Fixes et de l'Analyse Multivoque. Mais ces méthodes topologiques n'ont rien à dire sur l'aspect fonctionnel de la convexité et ses possibles généralisations.

Avec Walter Briec du Département d'Economie de l'Université de Perpignan et Alex Rubinov du School of Information Technology and Mathematical Sciences de l'Université de Ballarat à Victoria (Australie) nous étudions une structure (pour le moment en dimension finie), que nous avons appelée B-convexité, qui est suffisamment riche pour qu'y soient développés des résultats "à la Hahn-Banach'', analytique et géométrique, ainsi que tous les résultats topologiques de type point fixe ou sélection continue. Ces travaux ont donné lieu à deux publications parues (Briec-Horvath, Briec-Horvath-Rubinov), deux publications soumises (Briec-Horvath, Gavril-Rubinov) et d'autres travaux en cours. 

Des connaissances et une expérience de certains membres du thème en Optimisation et en Théorie des Jeux devraient permettre de développer l'optimisation en B-convexité (le travail de Gavril et Rubinov est une contribution en ce sens dans l'optique du "calcul sous-différentiel'' en ''analyse monotone'' développée dans le livre de Rubinov cité ci-dessus) et les applications aux jeux (Briec-Horvath ont montré que la B-convexité permet de passer des stratégies pures à des espaces de stratégies mixtes en B-convexité et donc d'obtenir, "sans espérance'', des points de selle pour les jeux à somme nulle, ainsi que des points de Nash pour les jeux non coopératifs.) 

Au delà de leur éventuelle utilité en Economie, ces travaux se situent dans le courant d'étude des convexités non linéaires (convexité topologique, convexité discrète, convexité axiomatique développées par exemple, et respectivement, dans les ouvrages de M.Van de Vel, Theory of Convex Structures, North Holland Mathematical Library (1993) ; Kazuo Murota, Discrete Convex Analysis, SIAM Monographs (2003) ; W. A. Coppel, Foundations of Convex Geometry, Cambridge University Press (1998) ).