upvd

LAboratoire de Mathématiques et de PhySique
Modélisation, Analyse, Calcul et Optimisation (MACO)

Modélisation Mathématique en Mécanique du contact


Ce thème de recherche consiste à étudier des équations aux dérivées partielles issues de la Mécanique des Milieux Continus (élasticité, hyperélasticité, viscoplasticité, mécanique des fluides), et notamment les équations d’évolution modélisant les problèmes de contact avec ou sans frottement. Les phénomènes de contact impliquant des corps déformables abondent dans l’industrie et dans la vie de tous les jours ; ils sont variés, fortement non linéaires et complexes; ils jouent un rôle important dans les structures et les systèmes mécaniques, et leur étude complète implique des compétences variées, allant de la mécanique au calcul scientifique, en passant par l’analyse fonctionnelle, l’analyse numérique et la thermodynamique.

Dans l’étude des phénomènes de contact, notre objectif est de présenter une description claire et précise des problèmes aux limites modélisant le contact entre corps déformables ainsi que de réaliser leur analyse variationnelle et numérique. Ainsi, nous avons considéré des modèles mécanique originaux capables de prendre en considération les phénomènes sous-jacents au contact (le frottement, l’usure, l’adhésion, les effets thermiques). Nous avons alors proposé des formulations variationnelles associés à ces modèles non réguliers, non linéaires et parfois non-convexes, puis nous avons démontré des résultats allant de l’existence et l’unicité des solutions faibles à l’étude de l’erreur d’approximation pour les schémas discrétisés, en passant par des résultats de régularité et de comportement asymptotique. Par ailleurs, afin de vérifier les différentes études théoriques et de résoudre ces problèmes, nous avons mis en œuvre de nombreux modèles numériques, souvent associés à des systémes non réguliers, non convexes, non linéaires et non symétriques de grande taille. Pour cela nous avons développé des méthodes de résolution adaptées à la modélisation mécanique considérée (dynamique, lois non convexes, grandes déformations, contact frottant, viscoélasticité), mais également adaptées aux nouvelles générations d’ordinateurs à architecture parallèle.

La considération des phénomènes de contact nous a amené à des problèmes mathématiques originaux, souvent formulés en termes d’inclusions différentielles ou d’inéquations variationnelles d’évolution. Dans un souci de lisibilité, nous nous sommes intéressés à l’étude de ces problèmes dans un cadre variationnel abstrait, accessible à ceux qui n’ont pas de connaissances spécifiques de mécanique. Nous avons obtenu des résultats d’existence et d’unicité de la solution, en utilisant essentiellement des méthodes de monotonie, compacité, régularisation, discrétisation temporelle et point fixe. Nous nous sommes également intéressés à l’approximation numérique de la solution à l’aide des schémas discrétisés, pour lesquels nous avons obtenu des résultats d’estimation de l’erreur et de convergence. Par ailleurs, la considération de problèmes non réguliers, non convexes, non linéaires (souvent présents en Mécanique du Contact) et parfois de grandes tailles, nous a amené à développer des méthodes numériques robustes et performantes tout en étant en adéquation avec la physique considérée. Certains de ces travaux ont été menés en interaction avec l’équipe de Physique. Par ailleurs, l’optimisation de codes de calcul numérique par transformation automatique des programmes afin de minimiser les erreurs d’arrondi est une problématique en cours d’étude avec l’équipe de Vérification Numérique. Les méthodes développées ont pu être testées sur machines séquentielles et parallèles. De manière générale, nous souhaitons intensifier les interactions avec les équipes de Physique et de Vérification Numérique.

Par ailleurs, nous envisageons de poursuivre l’analyse variationnelle et numérique des systèmes d’EDP modélisant les phénomènes de contact, en étroite collaboration avec les équipes françaises ou étrangères qui ont manifesté la volonté de nous rejoindre dans cette démarche. Citons par exemple les laboratoires « Alexander Grothendieck » et LMGC de Montpellier, le LMA de Marseille (équipes CNRS), ainsi que les équipes dirigées par le Professeur W. Han (University of Iowa), le Professeur Migorski (Université Jagellone, Cracovie, Pologne), le Professeur M. Shillor (Oakland University, Michagan, USA) ainsi que le Professeur J. M. Viano (Université de St. Jacques de Compostelle, Espagne).



LAMPS

Université de Perpignan Via Domitia - 52 avenue Paul Alduy - 66860 Perpignan Cedex

Téléphone : +33 (0)4 68 66 20 52 - Fax : +33 (0)4 68 66 22 34